So, wir sind gerade dabei uns zu überlegen, wie man Stoffgesetze herleitet, möglichst

sinnvoll, sodass eben ein paar grundlegende Forderungen erfüllt sind bzw. Restriktionen

eingehalten werden. Und die kommen im Wesentlichen aus dem zweiten Hauptsatz und resultieren

dann darin, dass die Diskretionsleistung in gewisser Art positiv sein soll. Und daraus

hatten wir jetzt schon begonnen uns eben Beispiele anzuschauen und hatten letztes

Mal uns zunächst mal beschäftigt mit der linearen Isothermenelastität. Und hier haben

wir uns zunächst angeguckt, den Fall der Isotropie. Dann haben wir glaube ich abschließend

letztes Mal den Fall der Kanzlersalien-Isotropie gemacht. Und ich meine, das haben wir in die

Übung geschoben, Autotropie. Und was wir heute eben dann machen wollen im Weiteren

ist eben die Berücksichtigung der Temperatur. Das wäre also eine geniale Thermoelastität.

Okay, der ist hier aufgewacht, ist schon mal ganz gut. Ah, das ist jetzt ein bisschen

zu spät. So, jetzt nochmal für unsere Zuschauer draußen an dem Bildschirm. Guten Morgen.

So, was war das? V12. Gut, also das war jetzt hier nur noch mal ein Kurzabriss vom letzten

Mal. Wer hat das jetzt hier? Genau. Ja, wir hatten gesagt, wir wollen zunächst mal uns

mit der Isothermenelastität beschäftigen letztes Mal. Und wenn eben die Ableitung von

irgendwas linear ist, dann ist das irgendwas, also in diesem Fall die Energie eben quadratisch.

Das heißt also unsere gespeicherte Energiedichte hier hat eben diese quadratische Form in den

Verzerrungen Epsilon und E ist eben der vierstufige Elastizettensor. Dann, das hatten wir herausgekriegt,

okay, die Spannungen, die ergeben sich sozusagen durch Ableiten dieses Potentials nach den

Verzerrungen. Das gibt dann eben gerade diesen linearen Zusammenhang, wenn hier in diesem

E eben praktisch nur Konstanten drinstehen. Und das wäre für unseren Pfeil hier der

lineare Elastität ja zunächst mal so. Und dieses E ergibt sich eben dann hier aus der

zweiten Ableitung der Verzerrungsenergiedichte nach den Verzerrungen. Das gibt einen vierstufigen

Intensor, also mit vier Indizes i, j, k, l. Das heißt im schlimmsten Fall wären das

zunächst mal am Anfang 3 hoch 4 sprich 81 Einträge. Das reduziert sich natürlich denn

aufgrund verschiedener Argumente erheblich. So, wir hatten dann noch eingeführt die komplementäre

Verzerrungsenergiedichte über so eine Legendentransformation. Und das führt im Wesentlichen ein hier so eine

Größe C, die Nachgiebigkeit, die Compliance. Es ist jetzt gerade die Inverse von der Steifigkeit

hier und dann kann ich eben die komplementäre Verzerrungsenergiedichte in dieser Form schreiben

als quadratische Form in den Spannungen. Für lineare Elastität sind diese beiden Ausdrücke

hier wertmäßig nun gerade gleich. Wenn ich einen nicht-linären Zusammenhang habe, werden

die unterschiedlich. Sie erinnern sich, wir hatten da so ein Diagramm gemacht, lineare

Spannungsverzerrungsbeziehung und denn die Flächen unterhalb oder oberhalb der Kurven

sind dann eben einmal die Verzerrungsenergiedichte und einmal die komplementäre Verzerrungsenergiedichte

und bei linearen Zusammenhängen sind die natürlich dann in dem Fall gleich. So, dann hatten wir

gesagt Isotropie und dann haben wir uns überlegt, was das bedeutet. Das ist also die da oben

angegebene Anforderung an die Energiefunktion in Abhängigkeit von den Verzerrungen und das

definiert eben gerade nun eine sogenannte isotrope-tensor-Funktion. Dafür gibt es sogenannte

Darstellungs- und Repräsentationssätze, die eben darauf hinauslaufen, dass die Energie in diesem

Fall lediglich von dem Satz der Invarianten von den Verzerrungen abhängt. Da hatten wir gesehen,

da gibt es mehrere verschiedene Möglichkeiten diese Invarianten zu wählen. Die sind alle

gleichwertig, ineinander unrechenbar und wir hatten uns jetzt mal speziell hier auf diese

Basis-Invarianten gestürzt, weil die eben besonders leicht abzuleiten sind, sodass also insgesamt

rauskommt, die Verzerrungsenergiedicht ist eine Funktion von den Verzerrungen. Isotropie beschränkt

das auf eine Abhängigkeit von den Invarianten und ein Beispiel dafür wäre die Abhängigkeit von den

Spuren der ersten drei Potenzen. Dann hatten wir hier nur noch mal ganz kurz uns daran erinnert,

dass diese Invarianten hier, wenn ich die ableite nach den Verzerrungen, das gibt besonders einfache

Zusammenhänge. Das sieht fast aus wie beim Ableiten Skalarer-Potenzen, also Potenzen von Skalarengrößen

und damit konnten wir insbesondere die Spannung dann hier berechnen. Also hier ist nochmal der

generelle Zusammenhang. Die Spannung als Ableitung der Energiedichte nach den Verzerrungen und dann